Ce Înseamnă Numere Naturale
Numerele naturale sunt numerele folosite pentru a număra: 0, 1, 2, 3 și tot așa. Mulțimea lor se notează cu N sau ℕ; unele convenții încep șirul de la 1, așa că includerea lui 0 trebuie verificată în definiția folosită la exercițiu.
Un număr natural exprimă o cantitate întreagă, fără parte fracționară și fără semn minus. Dacă ai o carte, apoi încă una, numeri cărți întregi. Jumătatea unei cărți se exprimă altfel.
Care sunt numerele naturale
În convenția care include zero, scrii N = {0, 1, 2, 3, …}. Punctele de la sfârșit arată că șirul continuă, nu că trebuie să te oprești la ultimul număr scris. După fiecare număr natural urmează altul.
Nu există un cel mai mare număr natural. Oricât de mare ar fi numărul ales, adaugi 1 și obții unul mai mare. În schimb, există un prim element: 0 sau 1, în funcție de convenție.
Când vezi „nr. naturale” într-un enunț, „nr.” este doar prescurtarea cuvântului „numere”. Nu denumește o altă categorie. La fel, „un număr natural” este un singur element al mulțimii, iar „numere naturale” este forma de plural.
Zero este număr natural? Diferența dintre N și N*
Răspunsul depinde de convenția anunțată de autor. Dacă N = {0, 1, 2, 3, …}, atunci 0 este număr natural. Dacă definiția începe cu 1, zero nu intră în acea mulțime. Nu este o contradicție de calcul, ci o diferență de notație.
N* desemnează de obicei numerele naturale nenule: {1, 2, 3, …}. Când N include zero, aceeași mulțime se scrie și N ∖ {0}, adică „N fără elementul 0”.
Într-o problemă, citește întâi definiția din manual sau indicația profesorului. Dacă enunțul cere „cel mai mic număr natural nenul”, răspunsul este 1, indiferent de alegerea făcută pentru N.
Cum recunoști un număr natural
Uită-te la valoarea numărului, nu doar la felul în care este scris. Numerele negative și cantitățile cu parte fracționară nenulă nu sunt naturale.
- 0, 1, 2 și 3 sunt naturale în convenția care include zero.
- 10 și 60 sunt tot numere naturale, chiar dacă se scriu cu mai multe cifre.
- O jumătate nu este număr natural: 1/2 înseamnă jumătate, nu o cantitate întreagă.
- O fracție al cărei rezultat este întreg, precum 2/2 = 1, are o valoare care aparține numerelor naturale.
Nu confunda cifra cu numărul. Cifrele sunt semnele cu care scrii numerele; 10 este un număr natural scris folosind cifrele 1 și 0.
Toate numerele naturale sunt și întregi, raționale, reale și complexe. Inversul nu este adevărat: faptul că un număr este rațional nu îl face automat natural. Exemplul cu jumătatea arată diferența.
Ce operații păstrează rezultatul în N
Adunarea și înmulțirea a două numere naturale dau tot un număr natural. De exemplu, 1 + 2 = 3 și 2 × 1 = 2. La scădere și împărțire trebuie să verifici rezultatul.
Dacă dintr-un număr natural scazi unul mai mare, obții un număr negativ, care nu aparține lui N. Dacă împarți 1 la 2, obții 1/2, care nu este natural. Așadar, nu orice operație pornită de la numere naturale se termină în aceeași mulțime.
Adunarea și înmulțirea sunt comutative: schimbarea ordinii termenilor sau a factorilor nu schimbă rezultatul. Sunt și asociative: gruparea lor prin paranteze nu schimbă rezultatul acestor operații.
Ordinea numerelor îți permite să compari cantități: 1 < 2 < 3. Succesorul unui număr se obține adăugând 1. Doar 0 este propriul său opus în N, iar dintre numerele naturale nenule doar 1 are inversul multiplicativ tot natural.
Multipli, divizori și numere prime
Din înmulțirea unui număr natural cu alte numere naturale obții multiplii lui. Când împărțirea se face exact, fără rest, lucrezi cu noțiunea de divizor. Aceste noțiuni descriu relații între numere, nu înlocuiesc definiția lui N.
Un număr prim este un număr natural mai mare decât 1 care are exact doi divizori pozitivi: 1 și el însuși. De aceea, 1 nu este număr prim, deși este natural.
De la numărare la reguli matematice
Numărarea obiectelor a precedat formalizarea mulțimii. Babilonienii foloseau un sistem sexagesimal, cu baza 60, iar egiptenii unul decimal, cu baza 10. Sistemele de scriere diferă, dar cantitatea numărată rămâne aceeași.
Euclid a sistematizat aritmetica și geometria în „Elementele”. Ulterior, Giuseppe Peano a formulat cinci axiome pentru structura numerelor naturale, pornind de la un prim element, succesor și inducție matematică. Pentru exercițiile de început, ideea practică este simplă: numerele au o ordine, iar șirul continuă fără un ultim element.