Ce înseamnă cifre distincte: definiție și exemple

Cifre distincte înseamnă cifre care nu se repetă în scrierea unui număr. În 12345 fiecare cifră apare o singură dată, deci numărul are cifre distincte; în 12234 cifra 2 apare de două ori, deci nu le are.

Zero se comportă ca orice altă cifră când verifici dacă cifrele sunt distincte, dar nu poate sta pe prima poziție a unui număr scris cu mai multe cifre: „012” se citește ca 12.

Ce înseamnă cifre distincte, definiția corectă

Cifrele distincte sunt cifre care apar o singură dată într-un număr. Nicio cifră nu se repetă, fiecare apare exact o dată. 105 are cifre distincte: 1, 0 și 5 sunt toate diferite. 100 nu are, pentru că 0 apare de două ori. 121 nu are, pentru că 1 apare de două ori.

Verificarea e mecanică. Iei fiecare cifră din număr și te întrebi dacă mai apare o dată. Dacă da, numărul nu are cifre distincte. Dacă nicio cifră nu se repetă, le are.

Regula cu zero

Zero e cifră ca oricare alta când verifici dacă cifrele sunt distincte, deci 102 și 409 au cifre distincte. Totuși, zero nu poate fi prima cifră a unui număr scris cu cel puțin două cifre. De aceea, 012 se citește 12 și are doar două cifre, nu trei.

Această singură regulă schimbă calculele în problemele de combinatorică. Când sunt disponibile toate cele zece cifre de la 0 la 9, prima cifră are doar 9 opțiuni (de la 1 la 9), deoarece zero este exclus de pe prima poziție. Pe celelalte poziții zero este permis, atâta timp cât nu a fost deja folosit.

Exemple lucrate

Numere de 2 cifre cu cifre distincte: 17, 28, 90, 45. Toate valide. 22 nu e valid, pentru că 2 se repetă. 11 la fel.

Numere de 3 cifre cu cifre distincte: 105, 379, 860. Fiecare cifră o singură dată. 121 nu e valid, 1 se repetă. 100 nu e valid, 0 se repetă.

Câte numere de 2 cifre au cifre distincte? Prima cifră: 1 până la 9, adică 9 opțiuni (zero nu poate fi prima). A doua: orice cifră diferită de prima, inclusiv zero, adică 9 opțiuni. Total: 9 ori 9 = 81.

Câte numere de 3 cifre au cifre distincte? Prima: 9 opțiuni (1-9). A doua: 9 opțiuni (0-9, minus prima). A treia: 8 opțiuni (rămase). Total: 9 ori 9 ori 8 = 648.

Cifre distincte vs cifre repetate

Diferența e simplă, dar merită spus clar. Un număr cu cifre distincte nu repetă nicio cifră. Un număr cu cifre repetate are cel puțin o cifră care apare de mai multe ori.

Capcana frecventă: cifre distincte nu înseamnă numere distincte

În șirul 12, 23, 34 numerele sunt distincte între ele: niciun număr nu se repetă. Dar dacă problema cere numere cu cifre distincte, verifici cifrele din fiecare număr separat. 12 are cifre distincte, 23 la fel, 34 la fel. Toate trei trec testul.

Dacă problema cere ca toate cifrele folosite în șir să fie distincte, verifici cifrele tuturor numerelor la un loc. În 12, 23, 34 cifrele folosite sunt 1, 2, 2, 3, 3, 4. Cifrele 2 și 3 se repetă, deci șirul nu folosește cifre distincte în total. Citește exact ce cere problema: cifrele din fiecare număr, sau cifrele din tot șirul.

A doua capcană: ordinea contează la formarea numerelor. 123 și 321 sunt numere diferite, ambele cu cifre distincte. De aceea, la numărarea numerelor cu cifre distincte folosești aranjamente, nu combinații. Combinațiile nu țin cont de ordine, dar numerele da.

În sfârșit, „distinct” și „consecutiv” sunt proprietăți diferite. „Distinct” spune doar că fiecare cifră diferă de celelalte, fără nimic despre ordine sau succesiune; „consecutiv” înseamnă că vin una după alta, în șir. De exemplu, 12345 are cifre în același timp distincte și consecutive, pe când 246 are cifre distincte, dar nu consecutive.

Formule esențiale

Permutările folosesc toate cifrele disponibile. Din mulțimea {1, 2, 3, 4} poți forma 4 factorial, adică 24 de numere de 4 cifre distincte. Fiecare permutare e un număr diferit.

Aranjamentele selectează și ordonează k elemente din cele n cifre disponibile, unde 0 ≤ k ≤ n, așadar k poate fi mai mic sau egal cu n. Numere de 2 cifre distincte din {1, 2, 3, 4}: aranjamente de 4 luate câte 2, adică 4 ori 3 = 12. Formula generală este n factorial împărțit la (n minus k) factorial, unde n este numărul de cifre disponibile și k este numărul de poziții ocupate.

Când zero e în mulțime, prima cifră se tratează separat. Numere de 3 cifre distincte din {0, 1, …, 9}: prima cifră are 9 opțiuni (1-9), a doua 9 (0-9 minus prima), a treia 8. Total: 9 ori 9 ori 8 = 648. Dacă ai folosi 10 ori 9 ori 8 ai obține 720, dar ai număra și numere care încep cu zero, care nu sunt numere de 3 cifre.

Numere pare cu cifre distincte

Aici începi de la ultima cifră, nu de la prima. Un număr par se termină cu 0, 2, 4, 6 sau 8. Calculezi separat două cazuri.

1. Cazul 1: ultima cifră e 0

   Prima cifră are 9 opțiuni (1-9), a doua 8 (rămase). Pentru numere de 3 cifre: 9 ori 8 = 72.

2. Cazul 2: ultima cifră e 2, 4, 6 sau 8

   4 opțiuni pentru ultima. Prima cifră: 8 opțiuni (1-9, minus ultima). A doua: 8 opțiuni (0-9, minus prima și ultima). Pentru numere de 3 cifre: 4 ori 8 ori 8 = 256.

3. Total

   72 plus 256 = 328 de numere pare de 3 cifre cu cifre distincte.

Cel mai mare număr de 6 cifre cu cifre distincte: 987654. Iei cele mai mari 6 cifre diferite (9, 8, 7, 6, 5, 4) și le aranjezi descrescător.

Cel mai mic număr de 6 cifre cu cifre distincte: 102345. Prima cifră nu poate fi 0, deci pui 1. Apoi 0, 2, 3, 4, 5 în ordine crescătoare pe restul pozițiilor.

Întrebări frecvente